Иррациональные уравнения и неравенства — 10 класс
Определите допустимые значения под корнем и проверьте, какие решения сохраняются после возведения в квадрат.
Вопросы и ответы
Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.
-
Для каких x выражение √(5 − 2x) определено в действительных числах?
Ответ и пояснение
Верный ответ: x ≤ 2,5
Под квадратным корнем должно быть 5 − 2x ≥ 0. После переноса и деления получаем x ≤ 2,5. Нулевое подкоренное значение допустимо.
-
Решите уравнение √(x + 7) = 4.
Ответ и пояснение
Верный ответ: 9
Обе части неотрицательны. Возводим в квадрат и получаем x + 7 = 16, значит, x = 9.
-
Решите уравнение √(2x + 3) = x.
Ответ и пояснение
Верный ответ: 3
Возведение в квадрат даёт x² − 2x − 3 = 0 с корнями 3 и −1. Квадратный корень неотрицателен, поэтому x = −1 не подходит. При x = 3 равенство выполняется.
-
Решите уравнение √(4x − 3) = √(2x + 7).
Ответ и пояснение
Верный ответ: 5
На области определения квадратные корни равны, когда равны их подкоренные выражения. Из 4x − 3 = 2x + 7 получаем 5. Оба выражения под корнями при x = 5 равны 17.
-
Решите неравенство √(x − 1) ≤ 3.
Ответ и пояснение
Верный ответ: [1; 10]
Корень определён при x ≥ 1. После возведения в квадрат получаем x − 1 ≤ 9, то есть x ≤ 10. Обе границы включаем.
-
Решите неравенство √(x + 2) > x.
Ответ и пояснение
Верный ответ: [−2; 2)
Корень существует при x ≥ −2. Если x < 0, неравенство выполняется, поскольку корень неотрицателен. Для x ≥ 0 возводим в квадрат и получаем x² − x − 2 < 0, что на этой части даёт 0 ≤ x < 2. Вместе это [−2; 2).
-
Решите уравнение √(x − 4) = −2.
Ответ и пояснение
Верный ответ: Действительных решений нет
Значение арифметического квадратного корня всегда неотрицательно, поэтому оно не может равняться −2.
-
Решите уравнение √((x − 2)²) = 5.
Ответ и пояснение
Верный ответ: −3 и 7
Левая часть равна модулю x − 2. Поэтому x − 2 = 5 или x − 2 = −5, откуда x = 7 или x = −3.
В уравнении с квадратным корнем важно учитывать знак обеих частей. Возведение в квадрат упрощает вычисления, но полученный корень уравнения иногда не подходит к исходной записи.
При решении неравенств отдельно проверьте область определения и границы промежутка. В разборе показано, почему для отрицательной правой части сравнение может решаться без возведения в квадрат.