Рациональные уравнения и метод интервалов — 10 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Какое значение x исключено из области определения дроби (x² − 9)/(x − 3)?

   • 0
   • −3
   • 3
   • 9
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 3

   При x = 3 знаменатель равен нулю. Даже если сократить общий множитель x − 3, в исходное выражение это значение подставлять нельзя.

2. Решите уравнение x² − 7x + 12 = 0.

   • 3 и 4
   • −3 и −4
   • 1 и 12
   • 2 и 6
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 3 и 4

   Выражение раскладывается на (x − 3)(x − 4). Каждый множитель даёт один корень, поэтому решения равны 3 и 4.

3. Решите уравнение 1/(x − 1) = 2/(x + 2).

   • 4
   • 2
   • 1
   • −2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 4

   Исключаем x = 1 и x = −2. После умножения на знаменатели получаем x + 2 = 2x − 2, откуда x = 4. Оно допустимо.

4. Решите уравнение (x² − 4)/(x − 2) = 0.

   • Решений нет
   • −2
   • −2 и 2
   • 2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: −2

   Числитель обращается в ноль при x = −2 и x = 2. Второе значение делает знаменатель нулевым, поэтому остаётся только −2.

5. При каких x произведение (x + 1)(x − 4) отрицательно?

   • [−1; 4]
   • (−∞; 4)
   • (−∞; −1) ∪ (4; +∞)
   • (−1; 4)
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: (−1; 4)

   Между −1 и 4 первый множитель положителен, второй отрицателен. Вне этого промежутка знаки совпадают, а в концах произведение равно нулю.

6. Решите неравенство (x − 2)/(x + 3) ≥ 0.

   • [−3; 2]
   • (−∞; −3) ∪ [2; +∞)
   • (−3; 2]
   • (−∞; −3] ∪ [2; +∞)
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: (−∞; −3) ∪ [2; +∞)

   Нули числителя и знаменателя делят прямую на три промежутка. Дробь положительна снаружи промежутка от −3 до 2. Значение 2 включаем, а −3 исключаем.

7. Решите неравенство (x − 1)²(x + 2) > 0.

   • (−2; +∞)
   • (−∞; −2) ∪ (1; +∞)
   • [−2; 1] ∪ (1; +∞)
   • (−2; 1) ∪ (1; +∞)
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: (−2; 1) ∪ (1; +∞)

   Квадрат положителен при всех x, кроме 1. Второй множитель положителен при x > −2, поэтому берём эти значения с исключением 1.

8. Одна труба заполняет пустую ёмкость за 3 часа, другая — за 6 часов. Обе работают с постоянным расходом и включены одновременно. Какое уравнение описывает время t до заполнения в часах?

   • 3t + 6t = 1
   • t/(3 + 6) = 1
   • t/3 + t/6 = 1
   • t/3 − t/6 = 1
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: t/3 + t/6 = 1

   За час трубы заполняют соответственно 1/3 и 1/6 объёма. За t часов доли складываются, а при заполнении их сумма равна 1.