Комбинаторика. Сколько разных вариантов?
Посчитайте наборы, назначения и коды. Разберите, когда умножать возможности, исключать запреты и убирать повторы.
Вопросы и ответы
Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.
-
Для выставки выбирают ровно одну из трёх разных фотографий и ровно одну из четырёх разных рамок. Любая фотография подходит к любой рамке. Сколько разных пар можно составить?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 12
Каждую из трёх фотографий можно соединить с четырьмя рамками. Получается 3 × 4 = 12 пар.
-
На полке пять разных книг. Из них нужно взять ровно три. Порядок выбора значения не имеет. Сколько разных троек можно взять?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 10
Выбрать три книги всё равно что указать две, которые останутся на полке. Для двух книг есть 5 × 4 способов выбора по очереди. Каждая пара при этом посчитана дважды, значит остаётся 10 вариантов.
-
Из пяти участников нужно выбрать ведущего и секретаря. Один человек не может занимать обе роли, а обмен ролями даёт новое назначение. Сколько назначений возможно?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 20
На роль ведущего подходят пятеро. После выбора ведущего на роль секретаря остаются четверо. Разные роли различают назначения, поэтому 5 × 4 = 20.
-
Код состоит из трёх разных цифр, выбранных из 1, 2, 3 и 4. Последняя цифра должна быть чётной. Сколько таких кодов можно составить?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 12
Сначала выбираем последнюю цифру из двух чётных. На первое место подходят три оставшиеся цифры, на второе после этого две. Итого 2 × 3 × 2 = 12.
-
Для значка выбирают одну фигуру из круга, треугольника и звезды и один цвет из синего и жёлтого. Единственный запрет — жёлтая звезда. Сколько разных значков можно сделать?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 5
Без запрета было бы 3 × 2 = 6 значков. Из этих шести исключаем ровно один вариант, жёлтую звезду.
-
В команде пятеро, в том числе Аня и Борис. Для доклада выбирают пару. Хотя бы один из пары должен быть Аней или Борисом, а порядок выбора значения не имеет. Сколько пар подходит?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 7
Аня и Борис могут выступать вместе. Кроме того, каждый из них может составить пару с любым из трёх остальных. Получаем 1 + 3 + 3 = 7. Пара Ани и Бориса учитывается один раз.
-
В коробке четыре разные красные и три разные синие открытки. Сколько наборов из трёх открыток содержат ровно две красные? Порядок в наборе не учитывается.
Ответ и пояснение
Верный ответ: 18
Две красные из четырёх можно взять 4 × 3 ÷ 2 = 6 способами. Для каждой такой пары подходят три синие открытки. Получаем 6 × 3 = 18 наборов.
-
Из букв М, М, А, И составляют последовательность из четырёх букв. Две буквы М неразличимы. Сколько разных последовательностей получится, если использовать все четыре буквы?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 12
Для А есть четыре места, для И после выбора места А остаётся три. В двух остальных местах стоят одинаковые М. Получаем 4 × 3 = 12 разных последовательностей.
В этом тесте нужно составлять наборы книг, назначать роли и считать коды. Иногда перестановка даёт новый вариант, а иногда вы просто записали тот же набор в другом порядке.
Для начала перечислите варианты у маленького примера. Затем решите, какой подсчёт поможет сэкономить время. Результат отражает ответы на эти задачи и не измеряет IQ.