Степенные функции и графики корней — 10 класс
Сравните графики чётных и нечётных степеней, обратной пропорциональности и корней.
Вопросы и ответы
Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.
-
Какой из графиков соответствует функции y = x³?
Две степенные функции на одинаковых шкалах. Ответ и пояснение
Верный ответ: График Б
На графике Б значения отрицательны при отрицательных x, а при положительных x положительны. Это соответствует кубу. На графике А отрицательные и положительные аргументы дают неотрицательные значения.
-
Какова область определения функции y = 1/x²?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Все действительные x, кроме нуля
Знаменатель x² равен нулю только при x = 0. При отрицательных и положительных x дробь определена.
-
Какие значения принимает функция y = 1/x²?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Все положительные числа
При x ≠ 0 квадрат положителен, поэтому дробь положительна. Для любого y > 0 можно взять x = 1/√y, и тогда 1/x² = y.
-
На каком из этих промежутков функция y = x⁴ убывает?
Ответ и пояснение
Верный ответ: (−∞; 0]
Когда отрицательный x движется к нулю, его модуль уменьшается. Вместе с ним уменьшается и четвёртая степень.
-
Какая точка лежит на графике y = 1/x?
Ответ и пояснение
Верный ответ: (−3; −1/3)
Подстановка x = −3 даёт y = −1/3. При x = 0 функция не определена.
-
Как связаны графики y = x³ и y, равного кубическому корню из x?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Они симметричны относительно прямой y = x
Куб и кубический корень задают взаимно обратные функции. Замена местами x и y отражает график относительно прямой y = x.
-
Как получить график y = √(x + 2) из графика y = √x?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Сдвинуть на две единицы влево
График y = √x начинается в точке (0; 0). В новом выражении корень равен нулю при x = −2. Все остальные точки также сдвигаются влево на две единицы.
-
График функции y = ax³ проходит через точку (2; 24). Чему равен коэффициент a?
Ответ и пояснение
Верный ответ: 3
Подставляем координаты точки. Получаем 24 = a × 2³ = 8a, откуда a = 3.
Вид степенной функции зависит от показателя. Положительная чётная степень даёт симметрию относительно оси y, а нечётная сохраняет знак аргумента. Отдельные задания показывают, что меняется при отрицательном показателе.
По рисунку сравните две степенные зависимости, а по формулам проверьте область определения и множество значений. В разборах объясняется, как график корня связан с обратной функцией.