Тригонометрические формулы и уравнения — 10 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Известно, что sin x = 3/5. Найдите cos² x.

   • 4/5
   • 9/25
   • 1/25
   • 16/25
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 16/25

   По основному тождеству sin² x + cos² x = 1. Значит, cos² x = 1 − 9/25 = 16/25.

2. Известно, что sin x = 1/3. Чему равен cos 2x?

   • −7/9
   • 8/9
   • 7/9
   • 1/9
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 7/9

   По формуле двойного угла cos 2x = 1 − 2sin² x. Подставляем 1/3 и получаем 1 − 2/9 = 7/9.

3. Какое выражение равно sin(x + π) для любого действительного x?

   • −sin x
   • cos x
   • −cos x
   • sin x
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: −sin x

   При прибавлении π точка на окружности оказывается диаметрально противоположной. Её ордината меняет знак, поэтому sin(x + π) = −sin x.

4. Известно, что sin x = −3/5 и cos x = 4/5. Чему равен tg x?

   • −4/3
   • −3/4
   • −12/25
   • 3/4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: −3/4

   Делим синус на косинус. Получаем (−3/5) ÷ (4/5) = −3/4.

5. Решите уравнение sin x = 0 на промежутке [0; 2π).

   • 0, π и 2π
   • Только π
   • Только 0
   • 0 и π
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 0 и π

   Синус равен нулю в точках пересечения единичной окружности с горизонтальной осью. На указанном промежутке подходят 0 и π. Правая граница 2π не входит.

6. Решите уравнение cos x = 1/2 на промежутке [0; 2π).

   • π/6 и 11π/6
   • π/3 и 2π/3
   • π/3 и 5π/3
   • Только π/3
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: π/3 и 5π/3

   Косинус равен 1/2 при угле π/3. На том же обороте с такой абсциссой есть угол 2π − π/3 = 5π/3.

7. Решите уравнение tg x = −1 на промежутке [0; π).

   • π/2
   • 3π/4
   • 0
   • π/4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 3π/4

   Тангенс отрицателен во второй четверти. Там равенство tg x = −1 выполняется при x = π − π/4 = 3π/4.

8. Решите уравнение 2sin² x = 1 на отрезке [0; π].

   • π/4 и 3π/4
   • π/6 и 5π/6
   • π/4 и 5π/4
   • Только π/4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: π/4 и 3π/4

   На отрезке от 0 до π синус неотрицателен. Из sin² x = 1/2 получаем sin x = √2/2, а это значение достигается при π/4 и 3π/4.