Интеграл и площадь под графиком — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Чему равна площадь фигуры, выделенной цветом на рисунке?

   

   • 4
   • 16
   • 12
   • 8
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 8

   Это треугольник с основанием 4 и высотой 4. Его площадь равна 4 × 4 ÷ 2 = 8.

2. На всём отрезке [1, 3] график функции лежит ниже оси Ox. Интеграл по этому отрезку равен −7. Какова площадь между графиком и осью?

   • 14
   • 0
   • 7
   • −7
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 7

   Ниже оси функция отрицательна, поэтому её интеграл имеет отрицательный знак. Площадь равна модулю интеграла, то есть 7.

3. Две части фигуры лежат по разные стороны оси Ox. Площадь верхней части равна 6, нижней — 4. Чему равен интеграл функции по всему отрезку?

   • −2
   • 2
   • −10
   • 10
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 2

   Верхняя часть даёт в интеграл 6, нижняя даёт −4. Сумма равна 2.

4. Одна часть фигуры площадью 9 лежит над осью Ox, другая площадью 5 — под осью. Чему равна их суммарная геометрическая площадь?

   • 14
   • 4
   • −4
   • −14
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 14

   Геометрические площади складываются без знаков. Сумма равна 9 + 5 = 14.

5. Фигура ограничена графиком y = 2x + 1, осью Ox и прямыми x = 0, x = 3. Какую площадь получим?

   • 9
   • 12
   • 21
   • 15
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 12

   График лежит выше оси. Первообразная x² + x принимает значения 12 и 0 на границах, их разность равна 12.

6. График y = x − 1 пересекает ось Ox на отрезке [0, 3]. В какой точке следует разбить отрезок при вычислении площади между графиком и осью?

   • При x = −1
   • При x = 3
   • При x = 2
   • При x = 1
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: При x = 1

   Функция меняет знак там, где x − 1 = 0. Чтобы обе площади учесть положительными, разбиваем при x = 1.

7. Площадь фигуры под прямой y = 5 между x = 2 и x = 6 ограничена снизу осью Ox. Чему она равна?

   • 20
   • 30
   • 10
   • 12
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 20

   Получается прямоугольник шириной 6 − 2 = 4 и высотой 5. Площадь равна 20.

8. На отрезке [0, 2] верхняя граница фигуры — y = 4, а нижняя — y = x. Чему равна площадь между ними?

   • 8
   • 2
   • 6
   • 4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 6

   Площадь равна интегралу разности 4 − x от 0 до 2. Первообразная 4x − x²/2 даёт 8 − 2 = 6.