Системы уравнений и графический смысл решения — 11 класс
Примените подстановку, сложение и графический способ для линейных и нелинейных систем.
Вопросы и ответы
Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.
-
Решите систему x + y = 7 и x − y = 1. Какова пара (x, y)?
Ответ и пояснение
Верный ответ: (4, 3)
Складываем уравнения и получаем 2x = 8. Тогда x = 4 и y = 3.
-
Сколько упорядоченных пар (x, y) решает систему x + y = 5 и xy = 6?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Две
Числа 2 и 3 имеют сумму 5 и произведение 6. Подходят две пары с разным порядком: (2, 3) и (3, 2).
-
Какие точки принадлежат одновременно графикам y = x² и y = x + 2?
Ответ и пояснение
Верный ответ: (-1, 1) и (2, 4)
Приравниваем правые части: x² − x − 2 = 0. Корни −1 и 2 дают соответственно y = 1 и y = 4.
-
Сколько действительных решений у системы x² + y² = 1 и y = 2?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Ни одного
Подстановка y = 2 даёт x² = −3. Действительных x с таким квадратом нет.
-
Сколько точек пересечения у графиков y = 6/x и y = 2x?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Две
При x ≠ 0 приравниваем 6/x и 2x. Получаем x² = 3. Оба корня отличны от нуля и дают разные точки.
-
Найдите точку пересечения прямых y = x − 1 и y = 3 − x.
Ответ и пояснение
Верный ответ: (2, 1)
Из равенства x − 1 = 3 − x следует 2x = 4. Получаем x = 2 и y = 1.
-
Почему система y = 3x − 2 и y = 3x + 5 не имеет решений?
Ответ и пояснение
Верный ответ: Прямые параллельны и различны
Коэффициент наклона у обеих прямых равен 3. Они пересекают ось Oy в разных точках и потому не пересекаются между собой.
-
Решите систему x − y = 2 и x² − y² = 16. Какова пара (x, y)?
Ответ и пояснение
Верный ответ: (5, 3)
Разность квадратов равна (x − y)(x + y). Первое уравнение даёт x − y = 2, значит, x + y = 8. Отсюда x = 5 и y = 3.
В системах из этого теста нужно найти пару чисел, которая подходит к обоим уравнениям. В одних задачах удобна подстановка, в других — сложение, разность квадратов или сравнение двух графиков.
Подставьте найденную пару в каждое уравнение. Если вы ищете число решений, подумайте, сколько точек пересечения может быть у соответствующих графиков.