Первообразная и определённый интеграл — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Какая функция является первообразной для f(x) = 6x?

   • F(x) = x³
   • F(x) = 6
   • F(x) = 6x²
   • F(x) = 3x²
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: F(x) = 3x²

   Производная 3x² равна 6x. У других функций из списка производная отличается.

2. Найдите F(0), если F′(x) = 4x и F(1) = 7.

   • 2
   • 0
   • 5
   • 7
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 5

   Общий вид F(x) = 2x² + C. Из F(1) = 7 получаем C = 5, поэтому F(0) = 5.

3. Чему равен интеграл от 3x² + 1 по x от 0 до 2?

   • 10
   • 12
   • 14
   • 8
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 10

   Первообразная — x³ + x. Её значения при 2 и 0 равны 10 и 0. Разность равна 10.

4. Чему равен интеграл от 2x по x от 1 до 3?

   • 8
   • 4
   • 9
   • 6
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 8

   Первообразная — x². Вычитаем 1² из 3² и получаем 8.

5. Какую функцию можно взять в качестве первообразной для f(x) = cos x?

   • F(x) = cos x
   • F(x) = −sin x
   • F(x) = −cos x
   • F(x) = sin x
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: F(x) = sin x

   Производная sin x равна cos x.

6. Чему равен интеграл от cos x по x от 0 до π?

   • 1
   • 0
   • −1
   • 2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 0

   Значения первообразной sin x в точках 0 и π равны нулю. Поэтому их разность равна нулю.

7. Чему равен интеграл постоянной функции f(x) = −2 от 2 до 5?

   • −4
   • −6
   • 6
   • −10
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: −6

   Интеграл постоянной равен её значению, умноженному на длину промежутка. Получаем −2 × (5 − 2) = −6.

8. Интеграл функции от 0 до 2 равен 5, а от 2 до 6 равен −3. Чему равен её интеграл от 0 до 6?

   • 8
   • −2
   • 2
   • −8
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 2

   Интеграл по соседним промежуткам складывается с учётом знака. Получаем 5 + (−3) = 2.