Логарифмические уравнения и неравенства — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Решите уравнение log₂(x − 1) = 3.

   • x = 9
   • x = 4
   • x = 8
   • x = 7
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 9

   Аргумент x − 1 равен 2³ = 8, значит, x = 9. Аргумент положителен.

2. Какое множество решений у уравнения log₂(x − 1) + log₂(x + 1) = 3?

   • Только x = 2
   • x = −3 и x = 3
   • Только x = −3
   • Только x = 3
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: Только x = 3

   Оба логарифма определены при x > 1. После объединения получаем x² − 1 = 8, откуда x = ±3. Ограничение оставляет только 3.

3. Решите неравенство log₃ x ≥ 2.

   • x ≥ 6
   • 0 < x ≤ 9
   • x > 9
   • x ≥ 9
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x ≥ 9

   Основание 3 больше единицы. Сравниваем аргумент с 3² = 9 и получаем x ≥ 9.

4. Решите неравенство log₁⁄₂(x − 2) > 1.

   • x > 5/2
   • 2 ≤ x ≤ 5/2
   • 2 < x < 5/2
   • x < 5/2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 2 < x < 5/2

   Из области определения x > 2. Основание меньше единицы, поэтому x − 2 < 1/2. Вместе получаем 2 < x < 5/2.

5. При каком x верно равенство log₅(2x − 1) = log₅(x + 3)?

   • x = 4
   • x = 2
   • x = −4
   • x = 6
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 4

   Равенство логарифмов одного основания даёт 2x − 1 = x + 3. Решение x = 4 удовлетворяет ограничениям.

6. Какое число решает уравнение lg(x + 9) = 1?

   • 0
   • 1
   • 10
   • −9
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 1

   Значение аргумента равно 10¹ = 10. Отсюда x + 9 = 10 и x = 1.

7. Решите неравенство log₂(3 − x) ≤ 1.

   • x ≥ 1
   • 1 ≤ x < 3
   • x ≤ 1
   • 1 < x < 3
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 1 ≤ x < 3

   Аргумент положителен при x < 3. При основании 2 неравенство означает 3 − x ≤ 2, то есть x ≥ 1. Пересечение даёт 1 ≤ x < 3.

8. Сколько решений у уравнения log₄(x² + 1) = 0?

   • Ни одного
   • Бесконечно много
   • Одно
   • Два
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: Одно

   При нулевом логарифме аргумент равен 1. Тогда x² + 1 = 1, и единственный корень — 0.