Показательные уравнения и неравенства — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Решите уравнение 3^(x+1) = 81.

   • x = 3
   • x = −3
   • x = 2
   • x = 4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 3

   Число 81 равно 3⁴. При одинаковом основании показатели равны: x + 1 = 4, поэтому x = 3.

2. При каком x выполняется 4^x = 8?

   • x = 3
   • x = 3/2
   • x = 2
   • x = 2/3
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 3/2

   Запишем 4^x как 2^(2x), а 8 как 2³. Тогда 2x = 3 и x = 3/2.

3. Решите неравенство 5^(2x−1) > 25.

   • x > 3/2
   • x > 1/2
   • x < 1/2
   • x < 3/2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x > 3/2

   Число 25 равно 5². Основание больше единицы, поэтому 2x − 1 > 2 и x > 3/2.

4. При каких x выполняется (1/2)^(x+1) ≤ (1/2)³?

   • x > 2
   • x ≥ 2
   • x ≤ 2
   • x < 2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x ≥ 2

   Функция с основанием 1/2 убывает. Поэтому x + 1 ≥ 3, откуда x ≥ 2.

5. Решите уравнение 2^x + 2^(x+1) = 24.

   • x = 2
   • x = 4
   • x = 3
   • x = 5
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 3

   Вынесем 2^x: 2^x(1 + 2) = 24. Отсюда 2^x = 8 = 2³.

6. Сделали замену t = 3^x. Какое значение t точно нельзя использовать для поиска действительного x?

   • t = 3
   • t = 1
   • t = 1/3
   • t = −1
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: t = −1

   Для любого действительного x число 3^x строго положительно. Значение t = −1 невозможно.

7. Решите уравнение 9^x − 10 · 3^x + 9 = 0.

   • Только x = 1
   • Только x = 2
   • x = 0 и x = 2
   • x = −2 и x = 0
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: x = 0 и x = 2

   Положим t = 3^x. Тогда t² − 10t + 9 = (t − 1)(t − 9). Оба корня положительны: 3^x = 1 или 3^x = 9, значит, x = 0 или x = 2.

8. Сколько действительных решений имеет уравнение 7^x = 0?

   • Одно
   • Два
   • Бесконечно много
   • Ни одного
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: Ни одного

   Значение 7^x положительно при любом действительном x. Нуля функция не достигает.