Монотонность и экстремумы по производной — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. На рисунке изображён график f′, производной функции f. На каком из указанных интервалов функция f убывает?

   

   • На (0, 1)
   • На (0, 4)
   • На (3, 4)
   • На (1, 3)
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: На (1, 3)

   График производной лежит ниже оси Ox между точками 1 и 3. Там f′ отрицательна, поэтому f убывает.

2. Функция f непрерывна в точке x = 2. Производная меняет знак с плюса на минус при переходе через эту точку. Какой вывод можно сделать о функции?

   • При x = 2 функция равна нулю
   • При x = 2 у функции локальный максимум
   • При x = 2 у функции минимум
   • Функция непрерывно возрастает
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: При x = 2 у функции локальный максимум

   До точки функция возрастает, после неё убывает. Такой переход даёт локальный максимум.

3. Известно, что f′(x) = 4x + 8. На каком интервале функция f возрастает?

   • На (−2, +∞)
   • На (−8, −2)
   • На (−∞, 2)
   • На (−∞, −2)
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: На (−2, +∞)

   Неравенство 4x + 8 > 0 выполняется при x > −2. Там функция возрастает.

4. Какое наибольшее значение принимает f(x) = x² − 2x на отрезке [0, 4]?

   • 0
   • 8
   • −1
   • 16
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 8

   Критическая точка x = 1 даёт −1. На концах f(0) = 0 и f(4) = 8. Наибольшее из трёх значений — 8.

5. В какой точке f(x) = x² + 4x + 7 принимает наименьшее значение?

   • При x = 7
   • При x = −4
   • При x = 2
   • При x = −2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: При x = −2

   Производная 2x + 4 отрицательна слева от −2 и положительна справа. Поэтому в −2 функция достигает минимума.

6. У функции f(x) = x³ производная в нуле равна нулю. Что происходит с функцией около x = 0?

   • В нуле у неё минимум
   • Она убывает с обеих сторон
   • Она возрастает с обеих сторон
   • В нуле у неё максимум
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: Она возрастает с обеих сторон

   Производная 3x² положительна по обе стороны от нуля. Её знак не меняется, поэтому экстремума там нет.

7. В какой точке функция f(x) = −x² + 6x достигает максимума?

   • При x = 3
   • При x = −3
   • При x = 0
   • При x = 6
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: При x = 3

   Производная 6 − 2x равна нулю при x = 3. Слева от точки она положительна, справа отрицательна.

8. Периметр прямоугольника равен 20 м. Пусть одна сторона равна x м, а площадь задаётся формулой S(x) = x(10 − x) при 0 < x < 10. Какова максимальная площадь?

   • 24 м²
   • 50 м²
   • 25 м²
   • 20 м²
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 25 м²

   Производная S′(x) = 10 − 2x обращается в ноль при x = 5 и меняет знак с плюса на минус. Площадь равна 5 × 5 = 25 м².