Производная и уравнение касательной — 11 класс

Вопросы и ответы

Выберите ответ мысленно и откройте пояснение для проверки.

1. Найдите производную f(x) = x³ − 4x + 7.

   • 3x² − 4x
   • 3x² + 7
   • 3x² − 4
   • x² − 4
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 3x² − 4

   Производные x³, −4x и 7 равны 3x², −4 и 0. Складываем результаты.

2. Найдите производную f(x) = x² sin x.

   • 2x cos x
   • 2x sin x
   • x² cos x
   • 2x sin x + x² cos x
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 2x sin x + x² cos x

   У производной произведения два слагаемых. Сначала дифференцируем x², затем sin x, сохраняя второй множитель в каждом слагаемом.

3. Найдите производную f(x) = (x + 1)/x при x ≠ 0.

   • 1/x
   • 1/x²
   • −1/x
   • −1/x²
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: −1/x²

   Функцию можно записать как 1 + x⁻¹. Производная единицы равна нулю, производная x⁻¹ равна −x⁻².

4. Чему равно f′(2), если f(x) = 3x² − x?

   • 5
   • 11
   • 12
   • 7
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 11

   Сначала найдём f′(x) = 6x − 1. При x = 2 получаем 12 − 1 = 11.

5. Каково уравнение касательной к графику y = x² + 1 при x = 1?

   • y = 2x
   • y = 2x + 2
   • y = x + 1
   • y = 2x − 1
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: y = 2x

   Точка касания — (1, 2), наклон f′(1) = 2. Подставляем в y − 2 = 2(x − 1) и получаем y = 2x.

6. Координата тела в метрах меняется по закону s(t) = 2t² + 3t, где t дано в секундах. Какова мгновенная скорость при t = 3 с?

   • 21 м/с
   • 15 м/с
   • 9 м/с
   • 27 м/с
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: 15 м/с

   Скорость — производная координаты по времени. Вычисляем s′(t) = 4t + 3 и подставляем t = 3.

7. При каком x производная функции f(x) = 3x² − 24x + 1 равна нулю?

   • При x = 8
   • При x = −4
   • При x = 4
   • При x = 0
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: При x = 4

   Производная равна 6x − 24. Из равенства 6x − 24 = 0 следует x = 4.

8. Чему равна производная y = 2^x при x = 0?

   • ln 2
   • 0
   • 1
   • 2 ln 2
   Ответ и пояснение

   Верный ответ: ln 2

   Производная 2^x равна 2^x ln 2. При x = 0 множитель 2^x равен 1.